ОДНОЧАСТИЧНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ В РЕЛЯЦИОННОЙ ПАРАДИГМЕ

Аннотация

Обсуждается квантовое описание свободных частиц в псевдофинслеровых импульсных пространствах, возникающих в одном из реляционных подходов к физике и геометрии пространства-времени. Показано, что для волновых функций таких частиц можно определить инвариантное унитарное скалярное произведение, обеспечивающее стандартную квантовомеханическую вероятностную интерпретацию. В качестве простейшего примера рассмотрено описание бесспиновой частицы.

Полный текст

Прогресс в физике часто сопровождался изменением геометрической модели пространства-времени. Так, специальная теория относительности наиболее естественно формулируется в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве Минковского. Общая теория относительности наделяет пространство-время структурой псевдориманова многообразия и связывает его метрический тензор с гравитацией. Многомерная общая теория относительности, возникшая первоначально как пятимерная теория Калуцы - Клейна, вводит дополнительные измерения пространства-времени и позволяет объединить гравитацию с другими известными фундаментальными взаимодействиями на классическом уровне. В суперсимметричных расширениях теории поля используется суперпространство, в котором к обычным коммутирующим координатам добавляются антикоммутирующие спинорные координаты. Аналогичные изменения геометрии пространства-времени происходят в супергравитации и теории суперструн. В ряде моделей квантовой гравитации (спиновые сети, каузальные множества, динамические триангуляции) реанимируется реляционный взгляд на пространство-время, восходящий к Г. Лейбницу и Э. Маху. Согласно этому взгляду наблюдаемое пространство-время формируется лишь на макроскопическом уровне в результате статистического усреднения квантовых характеристик непосредственно взаимодействующих друг с другом элементарных частиц. На уровне отдельных элементарных частиц классического пространства-времени просто не существует. Один из реляционных подходов к физике и геометрии пространства-времени развивается в группе профессора физического факультета МГУ 28 Соловьёв А.В. Одночастичные волновые функции в реляционной парадигме image Ю.С. Владимирова [1]. В рамках этого подхода естественным образом возникают спинороподобные объекты, названные финслеровыми N-спинорами [2-4]. Эти объекты порождают три серии n-мерных псевдофинслеровых векторных пространств, причем n = N 2, N(N+1)/2, N(N-1)/2, а N - любое натуральное число больше единицы (среди данных пространств есть и четырехмерное псевдоевклидово пространство с сигнатурой пространства Минковского). Эти пространства предлагается интерпретировать как обобщенные пространства импульсов частиц. Возникает закономерный вопрос: «Почему именно импульсов, а не координат?» Ответ может показаться несколько пространным и заключается в следующих рассуждениях. С реляционной точки зрения у отдельной элементарной частицы не может быть координат. Последние имеют смысл только для макрообъектов. Важнейшей физической величиной, характеризующей частицу, является масса. Простейший вектор, зависящий от массы, - это импульс классической частицы. Мы привыкли к тому, что импульс макрообъекта пропорционален его скорости. Вычисление скорости требует знания координат макрообъекта в начальный и конечный моменты времени. Это действительно так для средней скорости макрообъекта. Однако во всех формулах, в которых фигурирует скорость, имеется в виду мгновенная скорость макрообъекта. По определению, мгновенная скорость есть предел средней скорости при стремлении к нулю разности конечного и начального моментов времени. Этот предел зависит только от начального момента времени и не зависит от конечного. Он не является перемещением макрообъекта и принадлежит самостоятельному пространству скоростей, отличному от пространства координат. В дифференциальной геометрии это пространство называется касательным к многообразию. Ему же принадлежит импульс макрообъекта. Ситуация здесь вполне типична для теории пределов. Например, предел последовательности рациональных чисел вовсе не обязан быть рациональным числом, а может оказаться иррациональным числом. Предел последовательности, вообще говоря, не принадлежит тому множеству, из которого берутся элементы последовательности. Поэтому импульс классического макрообъекта, хотя и нуждается для своего вычисления в координатах, лежит, тем не менее, в своем собственном пространстве, отличном от координатного пространства. В квантовой механике происходит окончательное разделение координатного и импульсного пространств. То, что мы по инерции называем импульсом квантовой частицы, на самом деле является вектором квантовых чисел (собственных значений оператора импульса, действующего в абстрактном гильбертовом пространстве квантовых состояний), не требующих для своего вычисления использования координат уже ни в каком виде. Поскольку эксперимент вынужденно имеет дело с классическими макроприборами, то при измерении происходит отождествление этого абстрактного вектора с тем импульсом частицы, который она имела бы, если бы была классической. В указанном смысле и будем понимать импульс элементарной частицы. Таким образом, еще не имея координат, уже можно говорить об импульсах и использовать их при построении реляционной теории. 29 Метафизика, 2020, № 2 (36) image Вернемся, однако, к псевдофинслеровым импульсным пространствам. Длина вектора pa в них определяется формулой |p|m = Gab…c papb⋯pc, где Gab…c - симметричный по всем индексам постоянный метрический тензор, каждый индекс пробегает n значений, а общее количество индексов m = N или [N/2] (связь между размерностью n пространства и натуральным числом N указана выше). При m = 2 получаем обычные псевдоевклидовы длины. Уравнение «массовой оболочки» в таких пространствах имеет вид Gab…c papb⋯pc = M m, где pa - импульс частицы, а M - ее масса. В частном случае четырехмерного импульсного пространства релятивистской классической механики оно представляет собой знаменитое соотношение энергия - импульс - масса. Использование псевдофинслеровой геометрии, да еще многомерной, может показаться противоречащим всей имеющейся физической практике. В этой связи следует отметить одно важное обстоятельство, относящееся именно к тем псевдофинслеровым пространствам, о которых здесь идет речь. Оказывается, для четырехмерного наблюдателя n-мерный импульс pa выглядит как набор, состоящий из лоренцева вектора, одного или нескольких майорановских спиноров и одного или нескольких лоренцевых скаляров [2; 3]. Эти геометрические объекты сплошь и рядом встречаются в теоретической физике, в них нет ничего необычного. Лоренцев вектор, конечно, надо ассоциировать с 4-импульсом частицы. Майорановские спиноры сами по себе являются ненаблюдаемыми величинами, и вопрос об их интерпретации пока следует считать открытым. А вот интерпретация скаляров имеет прецеденты в существующих теориях. Так, в пятимерной теории Калуцы - Клейна пятая компонента импульса пропорциональна электрическому заряду частицы. Естественно предположить, что оставшиеся скалярные компоненты n-мерного импульса pa также пропорциональны некоторым скалярным характеристикам частицы, например ее массе. Что касается непривычности псевдофинслеровой геометрии, то можно с ходу привести пример тоже достаточно непривычной неевклидовой геометрии, буквально пронизывающей всю физику элементарных частиц: трехмерные импульсы релятивистской классической частицы с ненулевой массой образуют пространство Лобачевского. Но кто мог подумать во времена Н.И. Лобачевского, что его «воображаемая геометрия» имеет настолько прямое отношение к реальности? Как псевдофинслеровы импульсные пространства, так и «массовые оболочки» в них обладают одинаковыми группами симметрий. Специфика теории финслеровых N-спиноров заключается в том, что эти группы симметрий содержат в себе гомоморфные образы матричных групп SL(N, R) и SL(N, C) [2; 3]. Последние имеют фундаментальное значение для развиваемой реляционной теории. Другие группы в ней не используются. «Массовая оболочка», рассматриваемая как гиперповерхность в пространстве импульсов, сама является псевдофинслеровым пространством n-1 30 Соловьёв А.В. Одночастичные волновые функции в реляционной парадигме image измерений, но теперь уже искривленным. Ее индуцированная метрика имеет вид dsm = gab…c(p) dpadpb⋯dpc, где gab…c(p) - симметричные по всем индексам функции независимых компонент импульса, причем каждый индекс пробегает n-1 значение, а общее количество индексов по-прежнему равняется m. Упомянутое выше пространство Лобачевского обладает этой метрикой при m = 2 и n = 4, а его радиус кривизны пропорционален массе частицы. До сих пор речь, в сущности, шла о классических частицах. Но на самом деле элементарные частицы являются квантовыми объектами. Поэтому возникает необходимость в совмещении квантовой механики с псевдофинслеровой геометрией. Поскольку координат у нас нет, но зато есть импульсы, то единственным представлением векторов состояний квантовой частицы, которым можно воспользоваться, является импульсное представление. Помимо естественности импульсного представления с отстаиваемой здесь реляционной точки зрения оно обладает также неоспоримыми математическими преимуществами по сравнению с широко распространенным координатным представлением. Остановимся на этом подробнее. Достойно удивления тиражируемое практически во всех современных учебниках по квантовой теории поля утверждение о невозможности построить положительно определенную плотность вероятности из волновой функции релятивистской бесспиновой частицы. Это приводится как один из главных доводов в пользу «несостоятельности» релятивистской квантовой механики одной частицы и необходимости перехода к квантованию полей. Как будто не было классических работ Е. Вигнера и В. Баргмана о классификации неприводимых унитарных представлений группы Пуанкаре (то есть группы Лоренца, расширенной параллельными переносами системы координат). В этих весьма искусных математических работах Вигнер и Баргман, независимо друг от друга, построили все неприводимые представления группы Пуанкаре, реализовав их унитарными операторами, действующими на одночастичные волновые функции, зависящие от импульса. Со сводкой этих замечательных результатов можно ознакомиться в их совместной статье [5]. Оказалось, что «классификация всех унитарных представлений группы Лоренца… равносильна … классификации всех возможных релятивистских волновых уравнений» [5. С. 212]. Кроме того, «настоящее обсуждение не основывается на каких бы то ни было гипотезах о структуре волновых уравнений за исключением их лоренц-инвариантности. В частности, нет необходимости постулировать дифференциальные уравнения в конфигурационном пространстве. …Мы дадим для каждого представления… уравнение, решения которого преобразуются согласно этому представлению» [5. С. 213]. И наконец: «Чтобы построить эти представления явно, мы выберем в каждом случае одну из эквивалентных систем волновых уравнений, определим лоренц-инвариантное скалярное произведение (φ, ψ) …Мы будем работать в импульсном простран- 31 Метафизика, 2020, № 2 (36) image стве; это особенно просто, потому что импульсы (но не координаты) определяются группой Лоренца как бесконечно малые трансляции» [5. С. 216]. Наличие лоренц-инвариантных унитарных скалярных произведений волновых функций частиц произвольного спина как раз и обеспечивает возможность стандартной квантово-механической вероятностной интерпретации. Весьма примечательно, что эти скалярные произведения имеют относительно простой вид только для волновых функций импульсного представления. Они включают в себя интегрирование по «массовой оболочке» и суммирование по спиновому индексу. Вдохновившись идеями Вигнера и Баргмана, можно попытаться обобщить их результаты на группы симметрий псевдофинслеровых импульсных пространств. Это дало бы полное квантовое описание свободных частиц с импульсами, лежащими в указанных пространствах. И если записать уравнения, выделяющие из всего пространства волновых функций подпространства неприводимых представлений групп симметрий, совсем несложно, то придумать инвариантные унитарные скалярные произведения волновых функций весьма не просто. Главная проблема состоит в определении инвариантной меры в интеграле по псевдофинслеровой «массовой оболочке». Автору удалось решить эту проблему для всех m и n, за исключением случаев, когда m - нечетное число, а n - четное. Отвлекаясь от многокомпонентных волновых функций, соответствующих частицам с ненулевым спином, рассмотрим для простоты бесспиновую частицу (обобщение на ненулевой спин не вызывает принципиальных затруднений). В этом случае волновое уравнение тривиально и эквивалентно утверждению, что импульс p частицы лежит на «массовой оболочке» Gab…c papb⋯pc = Mm, а ее волновая функция ψ(p) имеет только одну скалярную компоненту. Оказывается, при четном m всеми требуемыми квантовой механикой свойствами обладает следующее скалярное произведение волновых функций φ(p) и ψ(p): <φ|ψ> = ∫ φ(p)* ψ(p) |hdet{gab…c(p)}|1/mdp1dp2⋯dpn-1, где * обозначает комплексное сопряжение, hdet{gab…c(p)} - гипердетерминант Кэли [6], построенный по компонентам метрического тензора gab…c(p), а областью интегрирования является вся «массовая оболочка». При нечетном m соответствующая формула содержит некоторое обобщение гипердетерминанта, предложенное автором и совпадающее при n = 3, m = 3 с так называемым вторым гипердетерминантом Кэли [7]. Таким образом, получено SL(N, R)или SL(N, C)-инвариантное квантовое описание свободных частиц с импульсами, принадлежащими псевдофинслеровым пространствам, которое обобщает стандартную релятивистскую квантовую механику таких частиц. Это описание является реляционным по своей сути и не требует использования пространственно-временных координат. Конечно, настоящая физика начинается только после включения взаимодействий между частицами. Один из вариантов, как это можно 32 Соловьёв А.В. Одночастичные волновые функции в реляционной парадигме image было бы сделать в рамках реляционной парадигмы, предложен в статье [8]. Перенесение соответствующих рассуждений с псевдоевклидовой на псевдофинслерову геометрию требует самостоятельного исследования, которое должно завершиться выводом правил Фейнмана, традиционных для квантовой теории взаимодействующих элементарных частиц. Однако в любом случае внешние линии диаграмм Фейнмана соответствуют свободным частицам, а амплитуды вероятностей простейших процессов рассеяния пропорциональны скалярным произведениям волновых функций. И то и другое мы уже умеем описывать.