ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ЛИ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ «ОБРЕЧЕНО»?

Аннотация

В последнее время среди физиков-теоретиков стало уже почти общепринятым мнение о том, что «пространство-время обречено». Подобная точка зрения сформировалась в связи с проблемами создания квантовой теории гравитации и осознанием того факта, что фундаментальная теория должна быть основана на чем-то совершенно отличном от обычных представлений о пространственно-временной геометрии. Но что именно следует понимать под этой «обреченной» геометрией? Мы рассмотрим, как эволюционировали представления о четырехмерной геометрии со времен Эйнштейна и как возник новый взгляд на геометрию, который, возможно, отменяет этот приговор.

Полный текст

1. Геометрия в терминах метрики Геометрия в традиционной формулировке, использованной Эйнштейном при создании общей теории относительности (ОТО), восходит к Риману. Хорошее современное описание этой теории можно найти, например, в [7]. Ее основные элементы таковы: - Четырехмерное многообразие M, описываемое в терминах координатных карт, которые образуют покрытие M областями Uj ⊂ M и задают отображения φj : Uj → R4. Многообразие М обычно считается гладким (φk (φj-1) и принадлежит C∞, в области определения. - Тензорные поля, которые при m ∈ M принимают значения в тензорном произведении нескольких копий касательного (TmM) или кокасательного () к М пространств. При наличии координатных карт эти значения становятся функциями с некоторым количеством верхних и нижних индексов. - Метрическое тензорное поле g принимает значения в симметричном подпространстве пространства и имеет сигнатуру (3, 1). Метрический тензор определяет связность (Леви-Чивиты), а уравнения Эйнштейна записываются в терминах кривизны этой связности (риманова кривизна) и тензора энергии-импульса. Уравнения Эйнштейна можно получить как уравнения Эйлера - Лагранжа для действия Эйнштейна - Гильберта, которое задается интегралом скалярной кривизны. Данные, используемые для описания этой геометрии, сильно избыточны из-за свободы выбора координатных карт. В гамильтоновом формализме, где начальные данные задаются метрикой на трехмерной гиперповерхности и ее производной по времени, конфигурационное пространство 6-мерно (метрика имеет 6 координат). Инвариантность относительно диффеоморфизмов подразумевает свободный выбор координат в каждом из четырех измерений и, следовательно, накладывает четыре ограничения, поэтому остается две физические степени свободы. 2. Геометрия в терминах расслоений реперов со связностью Вскоре после открытия Эйнштейном ОТО Картан высказал альтернативную точку зрения. Его геометрия, позже сформулированная на языке главных расслоений, хорошо описана в [5]. Здесь геометрия описывается следующими компонентами: - расслоение OF(M) ортонормированных реперов: 10-мерное главное SO(3, 1)-расслоение над 4-мерным пространством-временем; - спиновая связность: 1-форма ω на OF(M), принимающая значения в алгебре Ли SO(3, 1); - тетрада: 1-форма e на OF(M), принимающая значения в R4. Записывая действие Эйнштейна - Гильберта в терминах e, ω и кривизны Ω, получаем действие . (1) Вариация по ω дает уравнение движения с нулевым кручением (имеет единственное решение для ω в терминах е, называемое связностью Леви-Чивиты). Вариация по e дает уравнения Эйнштейна. Используя эти переменные в гамильтоновом формализме, получаем конфигурационное пространство ортонормированных реперов на трехмерной гиперповерхности, которое является 9-мерным. В дополнение к четырем ограничениям, вытекающим из инвариантности относительно диффеоморфизмов, есть еще три, фиксирующие свободу поворота реперов на элемент SO(3), в результате снова имеем 9 - 7 = 2 физические степени свободы. В итоге получаются те же уравнения поля, но формулировка Картана имеет два важных преимущества: 1) позволяет описать не только тензорные, но и спинорные поля, если взять спиновое двойное покрытие OF(M), которое имеет слой SL(2, C), а не SO(3, 1): 2) позволяет на том же языке формулировать калибровочную теорию, взяв произвольную группу Ли G и, главное, G-расслоение над M с произвольной связностью A, которая является 1-формой со значениями в алгебре Ли группы G. При этом квадрат нормы кривизны А задает действие Янга - Миллса, а не Эйнштейна - Гильберта. Первое преимущество важно, поскольку реальные поля материи являются спинорными полями, а второе - в связи с тем, что в конечном итоге нам хотелось бы иметь единую структуру для описания ОТО и Стандартной модели. 3. Расслоения реперов со связностью в четырех измерениях Метрический формализм и формализм Картана тетрад/связности можно использовать для единообразного описания геометрии в любом числе измерении. Однако в четырех измерениях формализм тетрад/связности имеет особенности, связанные с тем, что ∗-оператор Ходжа переводит 2-формы в 2-формы. Этот оператор удовлетворяет условию ∗2 = 1 для евклидовой сигнатуры, поэтому пространство два-форм можно разбить на самодуальные (∗ = 1) и антисамодуальные (∗ = -1) подпространства. Отсюда следует, что алгебра Ли группы вращений не является простой, а разлагается следующим образом: В сигнатуре Минковского ∗2 = -1, поэтому такое разложение требует комплексификации алгебры Ли, чтобы получить собственные пространства с собственными значениями ± i, что дает Примечательно, что для описания ОТО в четырех измерениях достаточно использовать только половину переменных связности, необходимых в пространствах с другим числом измерений (см., например, [6]). При использовании только самодуальной компоненты для вычисления кривизны в действии (по формуле (1)) получаются те же уравнения Эйнштейна и правильное число степеней свободы. Это очевидно для рассмотрения в евклидовом пространстве[3], тогда как в пространстве Минковского нужно перейти к комплексификации (удваивая число степеней свободы), чтобы выделить самодуальную компоненту, после чего наложить ограничение в виде условия вещественности. Введение переменных Аштекара [2] позволяет реализовать такое разложение в фазовом пространстве и дает отправную точку для развития альтернативных методов квантования, таких как петлевая квантовая гравитация. В пространстве Минковского необходимость работать с комплексными связностями, накладывая затем условия вещественности, приводит к значительным трудностям, которые еще предстоит преодолеть. 4. Геометрия твисторов Еще более удивительная особенность, характерная для четырехмерного пространства-времени, известна благодаря Роджеру Пенроузу [8], который предложил рассматривать точки пространства-времени как двумерные комплексные подпространства пространства C4, называемого твисторным пространством. Взяв все такие подпространства, получим не просто пространство-время Минковского, а комплексифицированное и конформно компактифицированное пространство-время Минковского. В терминах обычной тензорной геометрии описание спинорных полей невозможно, тогда как в формализме Картана такая возможность есть, но описание получается довольно сложным и искусственным. Напротив, в рамках твисторной теории киральные спиноры являются тривиальными объектами: двумерное киральное спинорное пространство в точке есть не что иное, как сама точка. Еще одним существенным преимуществом твисторных пространств является то, что в них конформная симметрия имеет простое описание. Группа SL(4, C), линейно действующая на твисторном пространстве, является комплексификацией конформной группы. Характерная особенность твисторной геометрии состоит в том, что она наиболее просто описывает не евклидово пространство-время или пространство-время Минковского, а нечто, что является одновременно комплексификацией того и другого. Это позволяет ясно понять, как перейти от евклидова пространства к пространству Минковского путем аналитического продолжения. Конформные группы Spin(5, 1) (евклидова и Spin(4, 2) (Минковского) являются различными вещественными формами комплексной конформной группы SL(4, C) = Spin(6, C). В качестве подгрупп у них имеются вещественные формы Spin(4) = SU(2) × SU(2) и Spin(3, 1) = SL(2, C) группы Spin(4, С). 5. Евклидова квантовая теория поля Попытки сформулировать квантовые теории поля (КТП) в пространстве-времени Минковского встречают множество серьезных математических трудностей. Даже в простейшем случае свободных КТП двухточечная функция не является обыкновенной функцией; ее можно определить как гиперфункцию, для этого нужно перейти к комплексифицированному пространству-времени, а затем взять граничные значения голоморфных функций. Вместе с тем в евклидовом пространстве-времени та же двухточечная функция свободного поля ведет себя хорошо и может быть строго определена через континуальные интегралы (подробнее см., например, [4]). Как известно, единственное непертурбативное определение теории Янга - Миллса выполнено именно в евклидовом пространстве-времени. Разумно предположить, что все фундаментальные физические теории должны строиться в евклидовом пространстве-времени, тогда как пространственно-временные амплитуды в пространстве Минковского можно восстановить, взяв граничные значения аналитических продолжений из евклидова пространства-времени. В то время как амплитуды можно продолжить аналитически, для евклидовых полей этого сделать нельзя. Дело в том, что эти поля значительно отличаются от полей в пространстве Минковского: они всегда «off-shell» и не удовлетворяют никаким уравнениям движения. И хотя существует формализм евклидова пространства Фока, это совсем не то же самое, что формализм физического пространства Фока, который описывает многочастичные системы. Еще одно отличие евклидовой КТП от КТП Минковского состоит в том, что необходимо нарушить вращательную инвариантность SO(4) и выбрать конкретное направление мнимого времени. Только после того, как это сделано, можно определить физические состояния и аналитическое продолжение в пространство-время Минковского. 6. Евклидовы твисторы и объединение В недавней работе [10] описана спекулятивная конструкция, в которой с помощью аппарата твисторов и КТП в евклидовом пространстве удалось объединить элементы теории гравитации в описанной выше киральной формулировке со степенями свободы Стандартной модели. В этой конструкции связность для одного из множителей SU(2) в Spin(4) обеспечивает киральную спиновую связность для гравитации, другой множитель SU(2) играет роль внутренней симметрии, обеспечивающей калибровочные поля слабых взаимодействий. Поле Хиггса, которое спонтанно нарушает эту вторую симметрию SU(2), необходимо для нарушения вращательной инвариантности SO(4) и появления выделенного направления мнимого времени. Хотя многое еще предстоит сделать, чтобы превратить эту систему в полноценную теорию со строго определенной динамикой, все степени свободы и симметрии единой теории находятся на своих местах, в рамках какой-то новой, ранее не изученной структуры. Выводы Фундаментальные переменные Стандартной модели являются геометрическими, а действующие силы описываются в терминах связности и кривизны. Часто предполагается, что Стандартная модель - всего лишь эффективная низкоэнергетическая теория, но с учетом динамики Янга - Миллса квантовая теория оказывается непротиворечивой на сколь угодно малых расстояниях (для калибровочной теории U(1) потенциальные проблемы возникают только на масштабах меньше планковского). Нет оснований полагать, что геометрия связности/кривизны/спиноров Стандартной модели «обречена» оказаться неприменимой в малом масштабе. Не менее важно и то, что не существует теоретической базы, которая предлагала бы взамен геометрии связности/кривизны/спиноров нечто принципиально другое в малом масштабе. Тесная связь математических структур четырехмерной геометрии с геометрией связности/кривизны/спиноров Стандартной модели указывает на то, что любая попытка отказаться от этих структур в пользу чего-то совершенно другого столкнется с непреодолимыми трудностями. Вряд ли альтернативной теории удастся унифицировать и воспроизвести успехи Стандартной модели. Мы утверждаем, что четырехмерная геометрия (в формулировке, где главную роль играют евклидова сигнатура, спиноры и твисторы) дает все необходимые степени свободы и симметрии для теории, объединяющей гравитацию в пространстве-времени и известную физику элементарных частиц. Уже получена правильная кинематика, остается проблема с динамикой. Теория Янга - Миллса показывает, что непротиворечивая динамика калибровочных полей на коротких расстояниях действительно существует, а твисторные переменные обеспечивают естественный способ получения конформной инвариантности в таких масштабах. Возможно, последовательную динамическую теорию на малых расстояниях удастся найти, рассматривая киральную формулировку гравитации в рамках твисторного пространства и выбирая в качестве фундаментального евклидово пространство с выделенным направлением мнимого времени. Вероятнее всего, «обреченным» на коротких расстояниях является не геометрия пространства-времени, а только действие Эйнштейна - Гильберта, которое оказывается лишь эффективным приближением на больших масштабах.