ПРИНЦИП МАХА И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В РЕЛЯЦИОННОМ ПОДХОДЕ

Полный текст

Введение Сто лет назад в 1923 г. появились первые работы Луи де Бройля о волновых свойствах частиц, - тем самым была заложена основа квантовой механики [1]. Причем эта теория с необходимостью требует использования классического физического аппарата, - вот слова из [2]: «…она содержит классическую механику как свой предельный случай и в то же время нуждается в этом предельном случае для своего обоснования». Традиционная квантовая механика связана с заданным обычным пространством-временем. Но сам де Бройль высказывал сомнения в адекватности таких представлений. Он еще в те годы, по сути, говорил о возможности развития этих фундаментальных понятий. Помня его слова, можно строить пространство-время, пригодное для описания квантовых эффектов. Допустима также простая аналогия с ситуацией конца XIX в.: классическое пространство-время в современной теории соотносимо с понятием ненаблюдаемого эфира в тогдашней физике, такие суждения высказывали некоторые авторы, см., например, [3]. Строить теорию желательно для измеримых величин, это касается и пространства-времени. На некоторые вопросы, возникающие в квантовой механике, пытается ответить наш подход реляционного статистического пространства-времени. Проблема построения пространства-времени рассматривалась различными авторами, в частности, предлагалось изучать макроскопическое пространство и время: ван Данциг, Рашевский, Циммерман и др. Но конкретных математических предложений не было предъявлено. В нашей концепции строится реляционное статистическое макроскопическое пространство-время. Ранее нами было получено начальное соответствие с результатами нерелятивистской квантовой механики, теперь желательно уточнять, развивать и обобщать данный подход. На таком пути, как представляется, можно разрешить проблему создания общего аппарата для релятивистской (ОТО) и квантовых теорий. В отличие от теории струн и петлевой квантовой гравитации в реляционной концепции дискретность пространства-времени задается не на планковском масштабе, но на атомарном, ибо, начиная с таких расстояний, проявляется индетерминизм движения. Можно напомнить, что в давнем уже обзоре [4] говорилось о трудностях квантования гравитации (там, кстати, указывалось, что из разных соображений планковский масштаб оказывается пределом непрерывного измерения пространства), проблема до сих пор не разрешена, хотя предлагаются разные подходы. Заметим также, что согласно представлениям некоторых исследователей, в частности, Ю.С. Владимирова и его последователей [5], для описания свойств элементарных частиц пространство-время может оказаться не обязательной частью. В нашей концепции основную роль играют статистические модели реляционных фундаментальных приборов: часов и линеек. Так что в указанном выше смысле пространство и время становятся измеримыми величинами. Причем для построения мировых часов и масштабных линеек используется предельное осреднение по всем дискретным элементам мира. В определенном смысле это сопоставимо с утверждением Ли Смолина в [6] о непреодоленных трудностях при расширении квантовой теории на космологию, фактически ставится проблема введения космологичности для правильной интерпретации квантовой механики. Правда, имеется в виду вариант теории скрытых параметров. В [7] он писал: «…скрытые параметры связаны не с уточненным описанием отдельных элементов квантовой системы, а с взаимодействием системы с остальной Вселенной. Мы можем назвать их скрытыми реляционными параметрами. …Задача прояснения смысла квантовой теории в поисках новой космологической теории является ключевой». Можно сказать, что теперь в результате присутствия измеримых глобальных пространственно-временных величин связь с квантовой механикой реализуется через открытые реляционные параметры. Следует напомнить, что помимо Ли Смолина ряд физиков и философов предполагали явно или неявно, что для описания отдельной частицы - несомненно и для выявления ее квантовых свойств - требуется знание поведения частиц всего мира, по сути, необходимо использовать в определенном смысле принцип Маха. Таких воззрений на возможную статичность проявлений этого принципа придерживался Вейль. Циммерман в [8] писал о том, что, согласно воззрениям многих авторов, положения квантовой механики требуют, чтобы «вселенная» учитывалась в каждой задаче. В [9] Эддингтон говорил о том, что атом может рассматриваться без физической вселенной, в которой он находится, не более, чем может рассматриваться гора без планеты, на которой она стоит. Предлагаемую глобальность в реляционном статистическом подходе можно сопоставить с обобщенным принципом Маха о связи микрои макромира. Здесь существенно то, что и пространственные, и затем временные координаты определяются конструктивно через соответствие показаний модельных статистических приборов - линеек и часов, которые связаны со всей подвижной структурой мира, представленной в атомистической дискретности. В согласии с такой глобальностью описания фундаментальные константы, включая постоянную Планка, оказываются связанными между собой. Макроскопическое статистическое пространство-время в нашем варианте подразумевает его проявление на разных масштабах - от атомарного до космологического. В принципе Маха соотносятся квантовые и гравитационные явления. Следствия развиваемой статистической теории позволяют получить соотношения, аналогичные известным космологическим совпадениям. В [10] отмечается получение таких соотношений, содержащих число Эддингтона, между указанными масштабами. Геометрическая схема реляционного статистического пространства Существенным представляется, что в нашей реляционной статистической концепции пространство и время являются не отвлеченными априорно заданными понятиями, но величинами, которые в принципе могут быть измерены с помощью неких обобщенных приборов, в выражениях присутствуют новые множественные параметры. Реляционность и статистичность пространства наших представлений можно соотнести и с реляционностью пространства в построениях Ю.С. Владимирова и А.Б. Молчанова, см. [11]. Присутствует более элементарная основа, через которую выражаются пространственные переменные, для нас таковой является конфигурация масс системы. Структура макроскопического пространства-времени основывается на теории графов. Для микроскопических масштабов индетерминизм реализуется благодаря специальной неевклидовой геометрии (в динамическом виде индетерминизм становится до конца ясным после введения затем реляционной статистической модели времени). Сам способ измерений, заложенный в модели макроприборов, на малых масштабах проявляет статистичность подхода. Но такая система графов (нерегулярная) может быть «опознана» на фоне регулярной эталонной системы, соответствующей измерительной среде идеальной линейки. Дискретная геометрия, которая в пределе на макромасштабах должна переходить в евклидову геометрию, подводит нас к 4-й проблеме Гильберта, а именно к «Проблеме о прямой как о кратчайшем соединении двух точек» (см. [12]). Гильберт говорит здесь о предложении, принимаемом некоторыми авторами даже за определение прямой линии, согласно которому прямая линия есть кратчайшее соединение двух точек. Содержание этого высказывания, по существу, сводится к предложению Евклида о том, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. В 4-й проблеме обсуждается возможность геометрий с минимальным количеством отличных от евклидовых аксиом. В используемой нами модели графов прямая и понимается как кратчайший маршрут между двумя вершинами, так что аксиоматика получается естественным образом. Причем отличие от евклидовой аксиоматики главным образом заключается в том, что через две точки (две вершины графа) можно провести неединственную прямую, то есть кратчайшую линию. В простых реализациях допустим вариант, где сумма двух сторон треугольника равна третьей стороне. Граф как эталонную систему следует рассматривать максимально изотропной и однородной со взаимно симметричным расположением вершин. Ребрами здесь можно считать пары соседствующих вершин. Соседство (инцидентность) определяется из некоторых дополнительных определений. Важнейший вопрос, как структура графа соотносится со структурой прибора для пространственного измерения. Главное утверждение состоит в том, что процедура измерения расстояния связана с сопоставлением некоторых физических объектов с другими объектами, которые входят в эталонную структуру. В геометрии традиционно выделяют пять групп аксиом, в реляционном подходе они выполняются (часть этих положений выводятся в рамках нашей модели) за исключением некоторых. Если не обсуждать аксиому параллельности, то нарушения касаются аксиом первой (I) группы. Это аксиомы связи (8 аксиом): все аксиомы действительны за исключением I2. «Существует только одна прямая, пересекающая две точки», а также I5 относительно единственности плоскости, пересекающей три точки. Для иллюстрации рассмотрим простой граф, позволяющий продемонстрировать построение «измерительной среды» для нахождения расстояния. Зададим на графе структуру прямых линий и возможный переход к макроскопической (евклидовой) геометрии. Положим, что есть набор отрезков AB, соответствующих прямым линиям, проходящих через точки (вершины) A и B. Все эти отрезки имеют длину rAB. Общее число таких отрезков равно NAB. Назовем «сечением» этих отрезков AB на расстоянии 1 £ r £ rAB набор вершин, расположенных на одинаковом расстоянии r от A. Число отрезков, пересекающих каждое сечение, постоянно и равняется NAB. Отметим узлы (вершины), расположенные на расстоянии r от А. Пусть Nc - число отрезков, пересекающих вершину С, расположенную в выбранном сечении. Мы можем полагать величину pC = NC/NAB вероятностью того, что данный отрезок пересечет сечение в точке C. Рассмотрим вершину E, для которой p E минимальна. Рассмотрим прямую в данном сечении, пересекающую точку Е. Пусть расстояние в этом сечении между точкой E и произвольной точкой C равно x. Мы можем приписать вероятность pC этой координате x и получить математическое ожидание и дисперсию. Дисперсия этого случайного распределения (если она существует) могла бы характеризовать толщину трубки, образованной отрезками АВ. Пусть D - максимум дисперсий распределений для всех прямых, пересекающих точку E. Единственный отрезок евклидовой геометрии может быть получен, если отношение этой величины к расстоянию между A и B стремится к нулю для макроскопических длин. Точнее, основное определение таково: предельный переход евклидовой геометрии справедлив, если Dmax / rAB ® 0 (rAB ® ¥) , где Dmax - максимум дисперсии D по сечениям для всех r. Пример статистического исчисления графа с простыми свойствами инцидентности подробно описан в [13]. Реляционное статистическое время и квантовые эффекты Пространство и время в рассматриваемой концепции связаны, причем построение пространства «предшествует» построению времени. О реляционности времени говорили различные авторы. Например, Ли Смолин пишет в [7. С. 255-256]: «Один из способов определить, где вы, - отметить уникальность видимого из этой точки… Рассматривая ночное небо, мы видим Вселенную с определенного места в определенный момент. Вид этот включает все фотоны, источники которых находятся на различном расстоянии от нас. Если физика реляционная наука, эти фотоны определяют внутреннюю реальность данного события - взгляда на ночное небо в конкретном месте в конкретное время». Эти слова (автор не дает никакой математической формализации) соответствуют нашим представлениям о моменте времени. Полагаем, что имеется гипотетический идеальный (глобальный) фотоаппарат, с помощью которого можно фиксировать пространственные положения всех элементов мира. Набор радиусов-векторов всех элементов (атомов), полученных по фотографии, сделанной из выбранной точки, задает момент реляционного времени. Пара фотографий определяет приращения, более того, для реальной малой «выдержки» и на одной фотографии видны малые следы траекторий частиц, что фактически задает интервалы смещения всех координат. Интервал реляционного статистического времени вводится как некое среднее от пространственных перемещений всех частиц системы. Основное уравнение связи пространства и времени в реляционной статистической концепции записывается так: N 2 dt 2 = a N 1 N N (dr - dr )2 å i=1 i å j . j =1 Здесь приращение реляционного времени d выражается статистически через смещения всех видимых в глобальной картине-фотографии элементов мира dri, постоянная a = 1/c, где с - скорость света в вакууме. Ограничение снизу для величин расстояний и их приращений дает величина r , соответствующая одному элементу (атому) измерительной линейки, e Эта величина в реляционной модели может быть взятой пропорциональной массе элемента m : здесь, согласно реляционной концепции, устанавливается e связь r = bm , где b выражается через фундаментальные постоянные. При e e ограниченности снизу всех пространственных приращений и приращение времени будет снизу ограниченным. Для приращения физической координаты имеем Äx ³ re = bm e . С учетом этих ограничений получаем 1 N 1 N 2 Ät = a å(Äri - N i=1 N åÄrj ) j=1 ³ adt re , где множитель dτ ~ 1 (мы используем естественное предположение о случайном распределении векторов Δrj, не равных среднему значению 1 ∑N

Об авторах

Владимир Владимирович Аристов

Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: vyou@yandex.ru

доктор физико-математических наук, профессор

Российская Федерация, 119333, Москва, Вавилова, д. 44, корп. 2

Список литературы